합성함수 미분 (Chain Rule)

합성함수의 정의 및 성질

정의

• 합성함수(Composite Function)란 두 개 이상의 함수가 결합되어 새로운 함수를 만드는 것을 말한다.
• 함수 $f$와 함수 $g$가 있을 때, $g(x)$의 결과를 다시 $f$의 입력으로 사용하는 형태이다.

$$y=f(g(x))\text{or}(f\circ g)(x)$$

• $g(x)$ : 속함수 (Inner Function)
• $f(\cdot )$ : 겉함수 (Outer Function)

정의역(Domain)

• 이때, $g(x)$의 출력이 반드시 $f(x)$의 입력이 될 수 있어야 한다.
• 예를 들어 $f(x)=\sqrt{x}$ 라고 할 때, 루트함수의 정의역은 루트 안의 값이 0보다 크거나 같아야 한다.
• $g(x)=x-3$ 이라 할 때, 합성함수를 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$f(g(x))=\sqrt{x-3}$$

• 여기서 $x-3\ge 0$ 이어야 하므로 정의역은 $x\ge 3$ 이 된다.
• 즉, 합성함수의 정의역은 속함수의 정의역뿐 아니라 겉함수의 정의역까지 함께 고려해야 한다.

결합법칙

• 합성함수는 결합법칙이 성립하며, 교환법칙은 성립하지 않는다.
• 세 함수 $f,g,h$에 대해서 다음을 만족한다.

$$f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$$

• 예를 들어 실제 함수가 다음과 같은 형태라면,

$$h(x)=x+1,g(x)=2x,f(x)=x^2$$ $$g(h(x))=2x+2$$ $$f(g(h(x)))=(2x+2{)}^2$$

• 여기서 두 함수를 미리 결합하고 계산해도 동일한 결과가 나온다.

$$f(g(x))=4x^2$$ $$f(g(h(x)))=4(x+1{)}^2$$

• 반면 함수의 계산 순서가 바뀌는 교환법칙의 경우 성립하지 않는다.

$$f\circ g\ne g\circ f$$

항등함수

• 항등함수(Identity Function)은 어떤 함수와 합성해도 원래 함수가 된다.

$$I(x)=x$$

• 즉, 항등함수는 곱셈에서의 1과 비슷한 역할을 한다.

$$f\circ I=f$$ $$I\circ f=f$$

역함수

• 함수 $f(x)$의 역함수를 $f^{-1}(x)$라고 할 때, 다음을 만족한다.

$$f(f^{-1}(x))=x$$ $$f^{-1}(f(x))=x$$

• 즉, 함수와 그에 해당하는 역함수를 합성하면 항상 항등함수가 된다.

$$f\circ f^{-1}=I$$

연속성과 미분가능성

• 만약 $f(x)$와 $g(x)$가 모두 연속이라면 합성함수 $f(g(x))$ 역시 연속이다.
• 만약 $f(x)$와 $g(x)$가 모두 미분 가능하다면 합성함수 $f(g(x))$ 역시 미분 가능하다.
• 체인룰(Chain Rule)은 합성함수가 미분 가능할 때의 미분 공식이다.

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합성함수의 미분법

체인 룰 (Chain rule)

• 합성함수 $y=f(g(x))$의 미분은 겉미분을 한 뒤 속미분을 곱하는 연쇄 법칙(Chain Rule)을 따른다.
• 함수 $y=f(u)$가 $u$에 대해 미분 가능하고, 함수 $u=g(x)$가 $x$에 대해 미분 가능할 때, 합성함수 $y=f(g(x))$는 $x$에 대해 미분 가능하며 그 도함수는 다음과 같다.

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$ $$f(g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

• $f^{\prime }(g(x))$ : 겉함수 $f$를 미분한 후, 속함수 $g(x)$를 대입한 것 (겉미분)
• $g^{\prime }(x)$ : 속함수 $g$를 미분한 것 (속미분)

• 즉, 합성함수를 바로 미분하여 $\frac{dy}{dx}$를 구하기 어려우므로, $\frac{du}{dx}$와 $\frac{dy}{du}$를 구하고 이를 곱하여 최종 합성함수의 미분을 구한다.

예시

• $y=\sin (x^2)$을 미분하려고 할 때, 속함수를 $u=x^2$이라하고 겉함수를 $y=\sin u$라고 볼 수 있다.
• 각각 미분하면 다음과 같다.

$$f(x)=\sin u,\frac{dy}{du}=f^{\prime }(x)=\cos u=\cos (x^2)$$ $$g(x)=x^2,\frac{du}{dx}=g^{\prime }(x)=2x$$

• 이렇게 구한 겉함수와 속함수의 미분을 곱하여 최종 합성함수의 미분을 구하면 다음과 같다.

$$\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=\cos (x^2)\cdot 2x=2x\cos (x^2)$$ $$\therefore \frac{dy}{dx}=2x\cos (x^2)$$

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