(AD) Vehicle Dynamics - Kinematic Models

Vehicle Dynamics

• Vehicle Dynamics(차량 동역학)은 차량에 작용하는 힘과 모멘트에 따른 차량의 움직임 모델링 한다.

Kinematics 와 Dynamics

• Kinematic Model (운동학 모델) :
  • Kinematics은 로봇의 질량이나 힘(마찰력, 관성 등)을 고려하지 않고, 기하학적 관계에 초점을 맞추어 로봇의 움직임을 설명하는 모델.
  • 모양, 위치, 속도, 가속도 등을 고려함.
• Dynamic Model (동역학 모델) :
  • 로봇에 작용하는 실제 힘(타이어 횡력, 하중 이동 등)과 질량, 관성 모멘트를 고려함.
  • 고속 주행이나 급격한 조향 시 발생하는 미끄러짐(Slip) 등을 계산함.

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차량 좌표계

• 일반적으로 차량 좌표계와 월드 좌표계에서의 차량 좌표계는 아래 그림과 같이 나타냄.

Bicycle Kinematic Model

개요

• Bicycle Kinematic Model은 차량의 네 바퀴를 앞바퀴 하나, 뒷바퀴 하나로 단순화한 모델로, 아래 조건에서 계산함.
  • 차량은 rigid body(강체)임을 전재로 하며, 각 파츠들의 위치 변화가 없음.
  • 타이어의 미끄러짐(slip)이 없는 저속 상태.
  • 차량은 2차원 평면(X, Y)에서 움직임. (roll, pitch는 없고 yaw만 존재)
• 모델의 제어 입력으로 속도(속력)와 조향각을 주면 Bicycle Model 을 통해 차량 위치의 단위 시간당 변화량($\dot{x},\dot{y},\dot{\psi }$)를 계산 할 수 있음.

4-Wheel Steering

• 4-Wheel Steering (4륜 조향) 모델은 전륜뿐만 아니라 후륜도 조향하여 안정성을 높이고 회전반경을 줄임.

Concept

• $\mathbf{A},\mathbf{B}$: 전륜, 후륜의 중심
• $\mathbf{O}$: 회전 중심 (rotation center)
• $\mathbf{Z}$: 무게 중심 (center of gravity)
• $\mathbf{V}$: 무게 중심의 속도
• $\mathbf{R}$: 회전 반경 (turning radious)
• $\beta$ : 슬립 각 (slip angle)
• $\psi$ : 월드 좌표계로부터 차체의 각도 (heading angle)
• $l_f,l_r$ : 질량 중심에서부터 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 까지의 거리

- Bicycle Model에서는 바퀴 미끄러짐(slip)은 고려하지 않으며, 바퀴 속도의 방향 성분은 바퀴의 방향을 따름. - $\beta$ 는 slip angle로, **차량의 heading 방향과 실제 차가 움직이는 방향 사이의 차이를 의미**함. - $\beta$는 선택한 기준점 위치에 따라 달라짐. 해당 기준점에서 차량의 속도 방향은 $\psi + \beta$로 표현됨. - 각 바퀴가 향하는 방향은 서로 다르고, 차량의 기하학적 배치로 인해 차체 축(heading)과 차량의 움직임이 서로 다름. 이때 실제 차량이 향하는 속도가 $V$ 로 대표되고, 그 각도를 $\beta$ 로 정의함. - 차량 바퀴 각도 $\delta$ 가 작아질수록 $\beta$가 감소하고(비례), 커질수록 $\mathbf{R}$은 감소한다.(반비례) - 중심 기준점(CoG)에서 구한 속도 벡터 $V$는 회전반경중심(ICR)과 CoG를 연결하는 선에 항상 직교함.

Motion Equations

• 차량의 단위 시간당 움직임의 변화량은 월드 좌표계를 기준으로 ( $\dot{x},\dot{y},\dot{\psi }$ ) 라고 표현할 때, 아래 식을 만족함.

$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =v\cos (\psi +\beta )\\ & \\ \dot{y}& =v\sin (\psi +\beta )\\ & \\ \dot{\psi }& =\frac{v\cos (\beta )}{l_r+l_f}(\tan ({\delta }_f)-\tan ({\delta }_r))\\ & \\ \beta & ={\tan }^{-1}\left(\frac{l_f\tan ({\delta }_r)+l_r\tan ({\delta }_f)}{l_r+l_f}\right)\end{array}$$

전개

• 삼각형 AOZ와 BOZ에서 각각 사진법칙을 적용하여 다음식을 도출함.
• $\Delta \text{AOZ}$

$$\frac{\sin (\delta -\beta )}{l_f}=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}-{\delta }_f\right)}{R}$$ $$\frac{\sin {\delta }_f\cos \beta -\cos {\delta }_f\sin \beta }{l_f}=\frac{\sin \frac{\pi }{2}\cos {\delta }_f-\cos \frac{\pi }{2}\sin {\delta }_f}{R}$$ $$\frac{\sin {\delta }_f\cos \beta -\cos {\delta }_f\sin \beta }{l_f}=\frac{\cos {\delta }_f}{R}$$ $$\frac{\sin {\delta }_f\cos \beta -\cos {\delta }_f\sin \beta }{l_f}\times \frac{l_f}{\cos {\delta }_f}=\frac{\cos {\delta }_f}{R}\times \frac{l_f}{\cos {\delta }_f}$$ $$\frac{\sin {\delta }_f\cos \beta -\cos {\delta }_f\sin \beta }{\cos {\delta }_f}=\frac{l_f}{R}$$ $$\therefore \tan {\delta }_f\cos \beta -\sin \beta =\frac{l_f}{R}$$

• $\Delta \text{BOZ}$

$$\frac{\sin (\beta -{\delta }_r)}{l_r}=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{2}+{\delta }_r\right)}{R}$$ $$\frac{\sin \beta \cos {\delta }_r-\cos \beta \sin {\delta }_r}{l_r}\times \frac{l_r}{\cos {\delta }_r}=\frac{\cos {\delta }_r}{R}\times \frac{l_r}{\cos {\delta }_r}$$ $$\therefore \sin \beta -\tan {\delta }_r\cos \beta =\frac{l_r}{R}$$

• 위 두개의 식으로 slip angle $\beta$ 를 구할 수 있다.
• Side-slip Angle ($\beta$)

$$\{\begin{array}{l}\tan {\delta }_f\cos \beta l_r-\sin \beta l_r=\frac{l_f{l}_r}{R}\\ \sin \beta l_f-\tan {\delta }_r\cos \beta l_f=\frac{l_r{l}_f}{R}\end{array}$$ $$\sin \beta (l_f+l_r)=\cos \beta (l_f\tan {\delta }_r+l_r\tan {\delta }_f)$$ $$\tan \beta =\frac{l_f\tan {\delta }_r+l_r\tan {\delta }_f}{l_f+l_r}$$ $$\therefore \beta ={\tan }^{-1}(\frac{l_f\tan {\delta }_r+l_r\tan {\delta }_f}{l_f+l_r})$$

• 위 두개의 식으로 단위 시간당 회전 변화량 yaw $\dot{\psi }$ 를 아래와 같이 구함.
• yaw ($\dot{\psi }$)

$$\frac{l_f+l_r}{R}=(\tan {\delta }_f\cos \beta -\sin \beta )+(\sin \beta -\tan {\delta }_r\cos \beta )$$ $$(\tan {\delta }_f-\tan {\delta }_r)\cos \beta =\frac{l_f+l_r}{R}$$ $$\frac{1}{R}=\frac{(\tan {\delta }_f-\tan {\delta }_r)\cos \beta }{l_f+l_r}$$

• 여기서, 선속도($V$)를 각속도($\dot{\psi }$)로 변환하는 물리 법칙은 아래와 같다.

$$\text{선속도}=\text{반지름}\times \text{각속도}|V=R\dot{\psi }$$

• 위 식을 이용하면 각속도는 속도를 반지름으로 나눈 것과 같으므로 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$\therefore \dot{\psi }=\frac{V}{R}=\frac{V(\tan {\delta }_f-\tan {\delta }_r)\cos \beta }{l_f+l_r}$$

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2-Wheel Steering

• 일반적으로 실제 차량은 2-Wheel Steering (2륜 조향 - 전륜 조향) 모델로, 4륜 조향 모델을 단순화하여 정의할 수 있다.

Concept

Motion Equations

• 후륜 조향각인 ${\delta }_r$ 을 0으로 두어 모델을 단순화 시킬 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& \\ \dot{x}& =v\cos (\psi +\beta )\\ & \\ \dot{y}& =v\sin (\psi +\beta )\\ & \\ \dot{\psi }& =\frac{v\tan ({\delta }_f)\cos (\beta )}{l_r+l_f}\\ & \\ \beta & ={\tan }^{-1}\left(\frac{l_r\tan ({\delta }_f)}{l_r+l_f}\right)\\ & \end{array}$$

• 다음 가정으로, 만약 $\beta$ 와 ${\delta }_f$ 가 매우 작은 경우라면 식이 좀 더 단순화 될 수 있다.
  • 실제 선회를 하며 주행하기 위해 Steering을 조작하는 상황에서 각도 변화는 굉장히 작다. (매우 작은 ${\delta }_f$)
  • 전륜의 조향각이 작아짐에 따라 차량의 길이 방향 직선과 속도 벡터 $V$가 이루는 각이 작아진다. (매우 작은 $\beta$)
    • 혹은, 전륜만 조향할 때에는 후륜축을 기준점으로 삼아 $\beta$를 생략 할 수 있다.
  • 이때, $\cos (\beta )$에서 $\beta$가 0에 가까워 지면 $\cos (\beta )$는 1에 수렴한다.
  • $\tan ({\delta }_f)$에서 ${\delta }_f$가 0에 가까워지면 ${\delta }_f$ 에 매우 근사하다가 0에 수렴하므로 ${\delta }_f$라 표현할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& \\ \dot{x}& =v\cos \psi \\ & \\ \dot{y}& =v\sin \psi \\ & \\ \dot{\psi }& =\frac{v}{l_r+l_f}\tan {\delta }_f\approx \frac{v}{l_r+l_f}{\delta }_f\\ & \end{array}$$

• 경로 추정 및 계획 시 가장 널리 쓰이는 방식으로 전륜 조향 2-Wheel Steering 일때, 후륜축을 기준으로 삼으면 후륜은 차량 축 방향과 항상 평행이므로 속도 벡터와 차량 방향을 일치시킬 수 있어 제어 식이 단순해진다.
• 특히 저각도에서는 slip angle $\beta$ 가 거의 0에 수렴하므로 기구학적 가정을 통해 계산 오류를 최소화한다.
• 반면 고속에서 또는 물리적 연산을 위해서는 “바퀴가 미끄러지지 않는다” 라는 가정이 깨지며, 동역학(dynamics) 기반 원심력 등에 의한 질량 중심에서의 가속도와 힘을 계산해야 하므로 질량 중심점 기준 모델이 필수적이다.
• Dynamic Models 참고 : (AD) Vehicle Dynamics - Dynamic Models

전륜 조향 모델에서 차량의 CoG 궤적이 특별히 필요하지 않다면, 후륜축 중심을 기준점으로 정의하여 모델을 구성해도 차량의 자세는 동일하다.

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Ackermann Kinematic Model

개요

• Ackermann Kinematic Model은 실제 4륜 차량이 미끄러짐 없이 부드럽게 회전하기 위해 필요한 아커만 조향(Ackermann Steering Geometry)의 원리를 반영한다.
• Bicycle 모델은 실제 4륜 차량이 회전할 때 안쪽 바퀴와 바깥쪽 바퀴의 회전 반경이 다르다는 점을 반영하지 못하지만, Ackermann 모델은 안쪽 바퀴가 바깥쪽 바퀴보다 더 크게 꺾여야 타이어의 끌림(scrubbing)없이 순수한 운동을 할 수 있음을 반영한다.
• ROS2와 같은 로봇 시스템에서는 상위 경로 계획 단계에서는 Bicycle 모델을 사용해 거시적인 궤적을 다루고, 이를 실제 하위 모터 드라이버나 조향 서보에 전달할 때 Ackermann Kinematic 을 적용하여 각 바퀴의 각도를 계산한다.

Front-Wheel Steering

• 아커만 조향(Ackermann Steering) 모델은 일반적인 승용차와 같은 전륜 조향(Front-wheel Steering) 시스템의 표준적인 기하학적 모델로 간주 된다.

Concept

Motion Equations

• 일반적인 자동차 주행에서는 Bicycle 모델에서 회전 반경을 후륜축 중앙에 설정하고 궤적을 계산하므로, Ackerman 모델에서도 $R\approx R_1$ 로 보고 일반적으로 $R_1$을 회전 반경으로 이용함.
• 차량의 모양 및 회전반경($R$)을 이용해 아래와 같이 좌/우 바퀴각도의 관계를 구할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}\tan {\sigma }_o& =\frac{L}{R+\frac{w}{2}}\\ {\sigma }_o& ={\tan }^{-1}\left(\frac{L}{R+\frac{w}{2}}\right)\\ & \\ \tan {\sigma }_i& =\frac{L}{R-\frac{w}{2}}\\ {\sigma }_i& ={\tan }^{-1}\left(\frac{L}{R-\frac{w}{2}}\right)\\ & \end{array}$$

• 여기서, 조향각이 작으면 소각도 근사에 의해 $\tan \theta \approx \theta$ 를 이용하여 아래와 같이 근사 할 수 있다.

$$\begin{array}{rl}& \\ {\sigma }_o& \approx \frac{L}{R+\frac{w}{2}}\\ & \\ {\sigma }_i& \approx \frac{L}{R-\frac{w}{2}}\\ & \end{array}$$

• 아커만 조향의 좌우 평균을 취하면 bicycle model의 대표 조향각 식이 자연스럽게 얻어진다.
• 내/외측 조향각의 평균을 $\sigma$ 라고 할 때,

$$\begin{array}{rl}& \\ \sigma & \approx \frac{{\sigma }_o+{\sigma }_i}{2}\\ & \\ \sigma & \approx \frac{LR}{R^2-\frac{w^2}{4}}\end{array}$$

• 일반적으로 $R^2$에 비해 $\frac{w^2}{4}$는 매우 작으므로 무시할 수 있다.

$$\begin{array}{r}{R}^2-\frac{w^2}{4}\approx R^2,\\ \\ \therefore \sigma \approx \frac{LR}{R^2}\approx \frac{L}{R}\end{array}$$

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Kinematic Model 시뮬레이션

시뮬레이션 결과

• Bicycle kinematic model 주행 시뮬레이터 구현

State Update

# Default parameters
v = 3.0 # 속도(m/s)
delta = 0.0 # 조향각(deg -> radian 필요)
L = 2.7 # 휠베이스 길이(m)
dt = 0.05 # 시간 간격(s)
 
# v: 속도, delta: 조향각, L: 휠베이스, dt: 시간 간격
def update(v, delta, L, dt):
	x += v * np.cos(yaw) * dt
	y += v * np.sin(yaw) * dt
	yaw += (v / L) * np.tan(delta) * dt

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참고

• Vehicle Dynamics와 Bicycle Model - gaussian37
• [AD] Bicycle Kinematic Model 설명
• users.sussex.ac.uk/~tafb8/mas/MAS_03a_LateralVehicleDynamics.pdf
• Dynamics & Control – Welcome to Hang’s Website!
• [Paper Notes] Bicycle Models and Frenét Coordinates | by Devin Z | Medium
• Wheeled Mobile Robot Kinematics — ROS2_Control: Rolling May 2026 documentation
• Dynamics & Control – Welcome to Hang’s Website!
• 2-1. Pure Pursuit — 전방 목표점 추종 - 로봇 시뮬레이션