(행렬) 행렬식

행렬식 (Determinant)

행렬식의 정의

• 행렬식(Determinant)은 정방행렬(square matrix)에만 정의되는 스칼라 값으로, 행렬이 나타내는 선형 변환이 공간을 얼마나 확대하거나 축소하는지, 그리고 방향을 유지하는지 또는 뒤집는지에 대한 정보를 담고 있다.
• 행렬 $A$의 행렬식은 $\det (A)$ 또는 $|A|$로 표기한다.

행렬식의 계산

1) 2x2 행렬의 행렬식

• 2x2 행렬 $A$에 대하여, 행렬식은 다음과 같이 계산한다.

$$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$ $$\det (A)=ad-bc$$

• 예를 들어, 행렬 $B$가 다음과 같다면 행렬식의 값의 다음과 같이 계산된다.

$$B=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$$ $$\begin{array}{rl}\det (B)& =1\cdot 2-2\cdot 3\\ & \\ & =-4\end{array}$$

2) 3x3 행렬의 행렬식

• 3x3 행렬 $A$에 대하여, 행렬식은 Sarrus 규칙을 사용하여 계산할 수 있다.
• 첫 두 열을 행렬 오른쪽에 다시 쓴 다음, 대각선 방향으로 곱한 값들을 더하고 빼는 방식으로 계산한다.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right]$$ $$\det (A)=(aei+bgf+cdh)-(ceg+afh+bdi)$$

• 이를 정리하면 다음과 같이 표현할 수도 있다.

$$\det (A)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$$

• 예를 들어, 행렬 $B$가 다음과 같다면 행렬식의 값은 다음과 같이 계산된다.

$$B=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& -2\\ 1& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

• 첫 두 열을 행렬 오른쪽에 추가:

$$\left[\begin{array}{ccccc}2& 0& -2& 2& 0\\ 1& 1& -2& 1& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$

• 오른쪽 아래 대각선 곱의 합:

$$(2\cdot 1\cdot 1)+(0\cdot -2\cdot 0)+(-2\cdot 1\cdot 0)=2$$

• 왼쪽 아래 대각선 곱의 합:

$$(-2\cdot 1\cdot 0)+(2\cdot -2\cdot 0)+(0\cdot 1\cdot 1)=0$$

• 최종 행렬식:

$$\det (B)=2-0=2$$

3) 일반적인 n x n 행렬의 행렬식 (여인수 전개)

• 더 큰 크기의 행렬이나 일반적인 경우의 행렬식은 여인수 전개(Cofactor Expansion)를 사용하여 계산한다.
• 어떤 행 $i$ 또는 열 $j$를 선택하여 다음과 같이 전개할 수 있다.
• $n\times n$ 행렬 $A$가 다음과 같다면,

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n_2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$$

• 첫 번째 행을 기준으로 여인수 전개를 하면 다음과 같다.

$$\det (A)=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+\cdots +a_{1n}{C}_{1n}$$

• 여기서 $C_{ij}$는 여인수(Cofactor) 이고 다음과 같다.

$$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$

• $M_{ij}$는 $a_{ij}$의 소행렬식(Minor) 으로, $a_{ij}$가 포함된 행과 열을 제거하고 남은 $(n-1)\times (n-1)$ 행렬의 행렬식을 말한다.
• 즉, $2\times 2$ 부터 $n\times n$ 까지 위 과정을 재귀적으로 계산하며 행렬식을 구할 수 있다.

4) 가우스 소거법을 이용한 행렬식 계산

• 여인수 전개를 통한 행렬식 계산은 행렬의 크기가 커질 수록 계산량이 매우 증가하므로 실제 계산에서는 가우스 소거법을 주로 이용한다.
• Python - Numpy 라이브러리 등에서는 LU 분해 방법을 주로 사용하여 행렬식을 계산한다.
• 정방 행렬을 가우스 소거법을 통해 아래 형태로 변환하여 행렬식을 쉽게 계산할 수 있다.

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$$

• 이 행렬을 가우스 소거법을 통해 다음과 같이 삼각 행렬로 만들 수 있다.

$$U=\left[\begin{array}{ccc}{u}_{11}& u_{12}& u_{13}\\ 0& u_{22}& u_{23}\\ 0& 0& u_{33}\end{array}\right]$$

• 삼각 행렬에서는 행렬식을 다음과 같이 대각선 원소를 모두 곱하여 구할 수 있다.

$$\det (U)=u_{11}{u}_{22}{u}_{33}$$ $$\det (U)=u_{11}{u}_{22}\cdots u_{nn}$$

• 단, 가우스 소거 과정에서 다음 연산이 포함되어 있다면 행렬식에도 반영해야 한다.

연산	행렬식 변화
두 행 교환	부호가 바뀜
한 행에 상수 $k$를 곱함	행렬식에도 $k$를 곱함
다른 행의 배수를 더함	행렬식 변화 없음

---

행렬식의 기하학적 의미

• 행렬식은 단순히 넓이나 부피를 계산하는 공식이 아니라 선형변환의 본질적인 크기 변화와 방향 변화를 나타내는 값.

선형 변환 (Linear Transformation)

• 행렬은 벡터 공간에서 벡터를 다른 벡터로 매핑하는 선형 변환으로 볼 수 있다.
• 즉, 어떤 벡터 $\mathbf{x}$에 행렬 $A$를 곱하는 것은 $\mathbf{x}$를 새로운 벡터 $A\mathbf{x}$로 변화하는 과정이다.

$$\mathbf{x}\to A\mathbf{x}$$

• 행렬 $A$가 선형 변환이 되려면 임의의 벡터 $\mathbf{u},\mathbf{v}$와 스칼라 $c$에 대해 다음 조건을 만족해야 한다.
  • 가산성 (덧셈의 보존) : $A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}$
  • 동차성 (스칼라곱의 보존) : $A(c\mathbf{u})=cA\mathbf{u}$
  • 원점의 보존 : $A0=0$ (평행이동은 원점을 보존하지 않으므로 선형 변환이 아니다)
• 좌표평면을 예로 들면, 선형 변환은 격자선이 여전히 평행하고 균일한 간격을 유지한 채로 공간을 늘이거나 줄이거나 비트는 변환을 의미한다. 선형 변환 행렬의 행렬식$(det)$은 변환에 의해 면적이나 부피가 얼마나 변하는지 그 비율을 나타냅니다.
• 특히, 단위 벡터(Standard Basis Vectors) 가 행렬에 의해 어떻게 변환되는지를 살펴보면, 이 변환이 공간에 미치는 영향을 시각적으로 이해할 수 있다.

1. 면적/부피의 스케일

• 행렬식의 절댓값은 크기 및 넓이 또는 부피의 변화를 나타낸다.
• 예를 들어, 2차원 공간에서 단위 면적이 1인 단위 정사각형이 행렬 $A$에 의해 변환되면, 변환된 도형의 면적은 $|\det (A)|$가 된다.
• 3차원 공간에서 부피가 1인 단위 정육면체가 행렬 $A$에 의해 변한되면, 변환된 도형의 부피는 $|\det (A)|$가 된다.
• 즉 만약 행렬식의 값이 2라면, 해당 선형 변환은 공간을 원래 크기의 2배로 확장시킨다는 의미이다.

2. 방향 변화

• 행렬식의 부호는 선형 변환이 공간의 방향을 유지하는지 또는 뒤집는지를 나타냅니다.
• $\det (A)>0$ : 변환이 공간의 방향을 유지한다 (회전, 확대 등)
• $\det (A)<0$ : 변환이 공간의 방향을 뒤집는다 (반사 등)

3. 행렬식이 0일 때

• $\det (A)=0$ 이라는 것은 즉 넓이나 부피가 0이 되어, 2차원 평면이 선이나 점으로, 3차원 공간이 평면으로
• 공간이 한 차원 아래로 축소되었기 때문에 이를 다시 원래대로 돌리는 방법 즉, 역행렬이 존재하지 않게 된다.
• (역행렬 공식)

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),A^{-1}=\frac{1}{\det (A)}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$$

---

참고

• Essence of linear algebra - YouTube