다변수 함수와 편미분

다변수 함수

정의

• 다변수 함수(Multivariate function)는 두 개 이상의 독립 변수가 하나의 종속 변수에 영향을 미치는 함수를 뜻한다.
• 예를 들어, $y=f(x)$와 같이 입력값(독립 변수)이 하나인 일변수 함수와 달리, 다변수 함수는 $z=f(x,y)$ 또는 $w=f(x,y,z)$ 처럼 여러 독립 변수의 조합으로 결과값이 결정되는 함수를 말한다.
• 수학적 정의에 따라, 독립 변수가 $n$개인 다변수 함수는 보통 $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ 형태로 표현되며, 이는 입력 공간은 $n$차원 유클리드 공간 ${\mathbb{R}}^n$이며, 출력은 $m$개의 실수값을 나타낸다.
• 특히 $m=1$인 경우, 여러 변수를 받아 하나의 실수를 출력하는 함수를 스칼라 함수(Scalar Function) 또는 스칼라장(Scalar Field) 라고 하며, $m\ge 2$인 경우를 벡터장(Vector Field) 라 한다.

정의역과 치역

• 정의역(Domain) 은 함수에 넣을 수 있는 모든 입력값의 집합이고, 치역(Range) 은 실제로 나올 수 있는 모든 출력값의 집합이다.
• 예를 들어, $f(x,y)=\sqrt{1-(x^2+y^2)}$ 함수의 정의역은 $x^2+y^2\le 1$이 되고, 치역은 $[0,1]$이 된다.

예시

• 원기둥의 부피를 구하는 함수는 다음과 같다. 이는 두 개의 독립 변수에 의해 결정된다.

$$f(r,h)=V=\pi r^{2}h$$

• 두 점 사이의 거리를 구하는 공식은 다음과 같다. 이는 네 개의 독립 변수에 의해 결정된다.

$$f(x_1,y_1,x_2,y_2)=D=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$$

• 아래 이변수 함수의 그래프는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$f(x,y)=z=x^2+y^2$$

다변수 함수의 미분

편미분

• 다변수 함수에서는 여러 변수가 동시에 변할 수 있기 때문에, 특정 하나의 변수가 변할 때 다른 변수들은 상수로 취급하여 미분하는 ‘편미분(Partial Differentiation)‘을 사용한다.
• 다변수 함수에서 편미분을 사용하여 “다른 모든 변수는 그대로 두고 한 변수만 바꾸었을 때 함수값이 어떻게 변하는가” 를 측정한다.
• 함수 $f(x,y)$의 $x$에 대한 편미분과 $y$에 대한 편미분은 각각 다음과 같이 정의된다.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$$

• (편미분 예시) 함수 $f(x,y)=x^{2}y+3x{y}^3$ 의 $x$와 $y$에 대한 편미분은 각각 다음과 같다.

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2xy+3y^3$$ $$\frac{\partial f}{\partial y}=x^2+9x{y}^2$$

고차 편미분

• 고차 함수에 대하여 편미분을 반복 적용할 수 있으며, 일반적으로 $n$차 편도함수는 다음과 같이 표기한다.

$$\frac{{\partial }^{n}f}{\partial x_1^{k_1}\partial x_2^{k_2}\cdots \partial x_m^{k_m}},k_1+k_2+\cdots +k_m=n$$

• 함수 $f(x,y)$의 $x$와 $y$ 대한 1차 편미분을 각각 다음이 나타낼 때,

$$f_x=\frac{\partial f}{\partial x},f_y=\frac{\partial f}{\partial y}$$

• 2차 편미분은 1차 편미분을 다시 편미분한 것으로 정의된다.

$$f_{xx}=\frac{\partial }{\partial x}(f_x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$$ $$f_{yy}=\frac{\partial }{\partial y}(f_y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$$

• 다른 변수에 대해 연속 미분할 수도 있다.

$$f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}(f_x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$ $$f_{yx}=\frac{\partial }{\partial x}(f_y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$$

• 만약 $f_{xy}$와 $f_{yx}$가 모두 연속이라면 다음이 성립하며, 이를 클레로(Clairaut) 정리 또는 혼합 편미분의 교환법칙이라 한다.

$$f_{xy}=f_{yx}$$

• (고차 편미분 예시) 함수 $f(x,y)=x^3{y}^2+\sin (xy)$의 $x$ 대한 1차 편미분은 다음과 같다.

$$f(x,y)=x^3{y}^2+\sin (xy)$$ $$f_x=3x^2{y}^2+y\cos (xy)$$

• 여기서, $\sin$ 함수의 항은 Chain Rule에 의해 다음과 같이 미분 할 수 있다.

$$g(u)=\sin (u),u=xy$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\partial g}{\partial x}& =\frac{\partial g}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial x}\\ & \\ & =\cos (u)\cdot y\\ & \\ & =y\cos (xy)\end{array}$$

• $x$에 대해 1차 편미분된 $f_x$를 이용해 2차 편미분을 하면 다음과 같다.

$$f_{xx}=6x{y}^2-y^2\sin (xy)$$ $$f_{xy}=6x^{2}y+\cos (xy)-xy\sin (xy)$$ $$f_{yx}=6x^{2}y+\cos (xy)-xy\sin (xy)$$

• 여기서 $y\cos (xy)$의 $y$에 대한 편미분은 곱의 미분법과 Chain Rule 의해 계산할 수 있다.

$$\begin{array}{rlr}\frac{\partial }{\partial y}(y\cos (xy))& =\frac{\partial }{\partial y}y\cdot \cos (xy)+y\cdot \frac{\partial }{\partial y}(\cos (xy))& \to \text{Product Rule}\\ & & \\ & =1\cdot \cos (xy)+y\cdot -x\sin (xy)& \to \text{Chain Rule}\\ & & \\ & =\cos (xy)-xy\sin (xy)& \\ & & \end{array}$$

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