곱미분과 몫미분

곱미분 (Product Rule)

곱미분 정의

• 곱미분 도는 곱의 미분법은 미분 가능한 두 개 이상의 함수가 곱으로 연결되어 있는 함수를 미분하는 방법이다.
• 미분 가능한 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$의 곱의 형태를 가진 함수를 $h(x)$ 라고 한다면, 다음과 같은 곱법칙이 성립한다.

$$f(x)=u(x)v(x)$$ $$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$

곱미분 유도

• 미분 가능한 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$에 대해 $f(x)=u(x)v(x)$의 도함수는 아래와 같이 나타낼 수 있다.

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$$

• 여기서 분자 항에 $u(x)v(x+h)$를 빼고 더 하면 다음과 같다.

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h)+u(x)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}$$

• 이것을 분해하여 정리하면 다음과 같다.

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x+h)v(x+h)-u(x)v(x+h)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x)v(x+h)-u(x)v(x)}{h}\\ & \\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{u(x+h)-u(x)}{h}v(x+h)+\underset{h\to 0}{\lim }\frac{v(x+h)-v(x)}{h}u(x)\\ & \\ & =u^{\prime }(x)\underset{n\to 0}{\lim }v(x+h)+v^{\prime }(x)u(x)\end{array}$$

• 여기서 $v(x)$는 연속하므로 다음이 성립한다.

$$\underset{n\to 0}{\lim }v(x+h)=v(x)$$

• 이것을 대입하면 다음과 같이 곱미분 정의식이 나온다.

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)+v^{\prime }(x)u(x)$$

여러 함수의 곱미분

• 세 함수 $u(x),v(x),z(x)$가 곱해진 함수 $f(x)$는 위 유도 과정을 동일하게 적용하여 다음과 같음을 알 수 있다.

$$f^{\prime }(x)=u^{\prime }(x)v(x)z(x)+u(x)v^{\prime }(x)z(x)+u(x)v(x)z^{\prime }(x)$$

• 따라서 $n$개의 함수 $f_1(x),\dots ,f_n(x)$가 모두 미분 가능할 때 다음이 성립한다.

$$\begin{array}{rl}{\left[\prod _{i=1}^n{f}_i(x)\right]}^{\prime }& =[f_1(x)f_2(x)\cdots f_n(x){]}^{\prime }\\ & \\ & =f_1^{\prime }(x)f_2(x)\cdots f_n(x)+\cdots +f_1(x)f_2(x)f_n^{\prime }(x)\\ & \\ & =\sum _{i=1}^n{f}_i^{\prime }(x)\prod _{j\ne i}{f}_j(x)\\ & \end{array}$$

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몫미분 (Quotient Rule)

몫미분 정의

• 몫미분 또는 몫의 미분법은 미분 가능한 두 함수가 나눗셈(몫) 형태로 연결되어 있는 함수를 미분하는 방법이다.
• 미분 가능한 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$에 대해, $v(x)\ne 0$ 일 때, 몫의 형태를 가진 함수 $f(x)$의 도함수는 다음과 같은 몫의 법칙이 성립한다.

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$$ $$f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2}$$

몫미분 유도

• 몫의 미분법 유도는 곱의 미분법을 적용하여 쉽게 유도할 수 있다.
• 미분 가능한 두 함수 $u(x)$와 $v(x)$에 대해 나눗셈 형태인 $f(x)$를 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}=u(x)\cdot v(x{)}^{-1}$$

• 이것을 곱의 미분법을 적용하면 다음과 같다.

$$f^{\prime }=u^{\prime }{v}^{-1}+u(v^{-1}{)}^{\prime }$$

• 여기서 두 번째 항의 $[v(x){]}^{-1}$을 $z(x)$라고 두고, 체인 룰(Chain Rule)을 통해 미분하면 다음과 같다.
• $v$는 변수가 아닌 임의의 함수이므로 체인 룰을 적용해야 한다.

$$z=v^{-1}$$ $$\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dv}\frac{dv}{dx}$$ $$z^{\prime }=-v^{-2}\cdot v^{\prime }$$

• 따라서 이식을 대입하면, 다음과 같이 정리된다.

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }& =u^{\prime }{v}^{-1}-u{v}^{-2}{v}^{\prime }\\ & \\ & =\frac{u^{\prime }}{v}-\frac{u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & \\ & =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & \\ \therefore {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\\ & \end{array}$$

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