8. 기저와 차원

기저와 차원

생성 (Span)

• 벡터 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$의 일차결합을 모두 모아 놓은 집합을 이 벡터들이 생성(span) 하는 공간이라 하고 다음과 같이 쓴다.

$$\text{span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k\}=\{c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k\mid c_i\in \mathbb{R}\}$$

• 예: ${\mathbb{R}}^3$에서
  • 영벡터가 아닌 벡터 하나의 span은 원점을 지나는 직선
  • 서로 평행하지 않은 두 벡터의 span은 원점을 지나는 평면
  • 한 평면 위에 있지 않은 세 벡터의 span은 ${\mathbb{R}}^3$ 전체
• $\text{span}\{{\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k\}=W$ 일 때, 벡터 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$가 $W$를 생성한다고 한다.

부분공간 (Subspace)

• 벡터공간 $V$의 부분집합 $W$가 덧셈과 스칼라곱에 대해 닫혀 있으면(그 자체로 벡터공간이면) $W$를 $V$의 부분공간이라 한다.
  • $\mathbf{u},\mathbf{v}\in W\Rightarrow \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W$
  • $\mathbf{v}\in W,c\in \mathbb{R}\Rightarrow c\mathbf{v}\in W$
• 따라서 부분공간은 반드시 영벡터를 포함한다.
• ${\mathbb{R}}^3$의 부분공간은 $\{0\}$, 원점을 지나는 직선, 원점을 지나는 평면, ${\mathbb{R}}^3$ 자신뿐이다.
• 벡터공간 $V$에 포함되는 임의의 벡터 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$의 span은 항상 $V$의 부분공간이다.
  • 두 원소를 더하거나 스칼라배를 해도 여전히 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$의 일차결합이고, 모든 계수를 0으로 두면 영벡터도 포함하기 때문이다.
  • $W=\text{span}\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2\}$ 이라고 하면, $W$의 원소는 모두 $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2$ 꼴이다.

기저의 정의

• 벡터공간 $V$(또는 부분공간)의 벡터 ${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_n$이 다음 두 조건을 모두 만족하면 $\{{\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_n\}$을 $V$의 기저(basis) 라 한다.
  1. 선형독립이다.
  2. $V$를 생성한다. ($\text{span}\{{\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_n\}=V$)
• 직관적으로, 기저는 공간을 만들 수 있는 최소한의 벡터 집합이다.
  • 생성만 되고 독립이 아니면, 불필요한(중복된) 벡터가 섞여 있다.
  • 독립이지만 생성하지 못하면, 공간을 다 만들기에 벡터가 부족하다.
  • 둘 다 만족해야 “과부족 없는” 기저가 된다.

기저의 핵심 성질: 좌표의 유일성

• $\{{\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_n\}$이 $V$의 기저이면, $V$의 모든 벡터 $\mathbf{x}$는 기저의 일차결합으로 유일하게 표현된다.

$$\mathbf{x}=c_1{\mathbf{b}}_1+c_2{\mathbf{b}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{b}}_n$$

• 존재: 기저가 $V$를 생성하므로 표현이 존재한다.
• 유일성: 두 가지로 표현된다고 가정하고 빼면 $(c_1-d_1){\mathbf{b}}_1+\cdots +(c_n-d_n){\mathbf{b}}_n=0$ 이다. 기저는 선형독립이므로 모든 계수가 0이고, 따라서 $c_i=d_i$ 이다.
• 이때의 계수 $(c_1,\cdots ,c_n)$을 기저 $B$에 대한 $\mathbf{x}$의 좌표(coordinate) 라고 하며 $[\mathbf{x}{]}_B$로 쓴다.

---

표준기저

• ${\mathbb{R}}^n$에서 $i$번째 성분만 1이고 나머지는 0인 벡터 ${\mathbf{e}}_i$들의 집합을 표준기저(standard basis) 라 한다.

$${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ ⋮\\ 0\end{array}\right],\cdots ,{\mathbf{e}}_n=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$$

• 임의의 벡터 $\mathbf{x}=(x_1,\cdots ,x_n)$는 $\mathbf{x}=x_1{\mathbf{e}}_1+\cdots +x_n{\mathbf{e}}_n$ 으로 쓸 수 있으므로 우리가 평소에 쓰는 좌표 성분이 곧 표준기저에 대한 좌표이다.
• ${\mathbb{R}}^2$에서는 ${\mathbf{e}}_1=\hat{\mathbf{i}}$, ${\mathbf{e}}_2=\hat{\mathbf{j}}$ 이고, ${\mathbb{R}}^3$에서는 $\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}}$ 이다.

기저는 하나가 아니다

• 같은 공간이라도 기저는 여러 가지로 선택할 수 있다.
• 예: ${\mathbb{R}}^2$에서 $B=\left\{\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\right\}$ 도 기저이다.
  • 두 벡터는 평행하지 않으므로 선형독립이고, 평면 전체를 생성한다.
  • 벡터 $\mathbf{x}=(3,1)$의 좌표는 다음과 같이 구한다.

$$\left[\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]+1\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]\Rightarrow [\mathbf{x}{]}_B=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$$

• 같은 벡터라도 어떤 기저를 쓰느냐에 따라 좌표가 달라진다. 고유값 분해에서 고유벡터를 기저로 삼아 변환을 단순하게(대각행렬로) 만드는 것이 이 아이디어이다. → 11. 고유값과 고유벡터

기저인지 판정하기

• ${\mathbb{R}}^n$의 벡터 $n$개 ${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_n$를 열로 하는 정방행렬 $B=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{b}}_1& \cdots & {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]$에 대하여 다음은 모두 동치이다.
  • $\{{\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_n\}$이 ${\mathbb{R}}^n$의 기저이다.
  • ${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_n$이 선형독립이다.
  • ${\mathbf{b}}_1,\cdots ,{\mathbf{b}}_n$이 ${\mathbb{R}}^n$을 생성한다.
  • $\det (B)\ne 0$ 이다. (6. 행렬식)
  • $B$는 가역행렬이다.
• 즉, ${\mathbb{R}}^n$에서는 개수가 $n$개이면 선형독립과 생성 중 하나만 확인해도 기저임을 알 수 있다.

---

차원 (Dimension)

차원 정리

• 벡터공간 $V$의 기저가 여러 개 있더라도, 모든 기저는 포함하는 벡터의 개수가 같다.
• 직관적인 이유: 선형독립인 벡터의 개수는 그 공간을 생성하는 벡터의 개수를 넘을 수 없다. (7. 선형독립과 선형종속의 “개수 제한” 성질) 두 기저는 서로에게 독립이면서 생성하는 집합이므로, 서로의 개수를 넘지 못해 개수가 같아야 한다.

차원의 정의

• 벡터공간 $V$의 기저를 이루는 벡터의 개수를 $V$의 차원(dimension) 이라 하고 $\dim V$로 쓴다.
• 영공간 $\{0\}$의 차원은 0으로 정의한다.

예시

공간	기저	차원
${\mathbb{R}}^n$	표준기저 ${\mathbf{e}}_1,\cdots ,{\mathbf{e}}_n$	$n$
$M_{m\times n}(\mathbb{R})$ (행렬 전체)	한 성분만 1인 행렬 $mn$개	$mn$
2차 이하 다항식 공간 $P_2$	$1,x,x^2$	3

• $M_{m\times n}(\mathbb{R})$ 도 벡터공간이므로 기저와 차원을 가진다. (1. 벡터 기본의 “행렬과 벡터 공간” 참고)

부분공간의 차원 예시

• ${\mathbb{R}}^3$의 평면 $W=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$ 은 부분공간이다.
  • $z=-x-y$ 이므로 $(x,y,z)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)$ 이다.
  • $\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}$은 선형독립이고 $W$를 생성하므로 $W$의 기저이다.
  • 따라서 $\dim W=2$ 이며, 원점을 지나는 평면이 2차원이라는 직관과 일치한다.

차원에 관한 성질

$\dim V=n$ 일 때 다음이 성립한다.

1. $V$에서 $n$개보다 많은 벡터는 항상 선형종속이다.
2. $V$를 생성하려면 적어도 $n$개의 벡터가 필요하다.
3. $V$의 벡터 $n$개가 선형독립이면 기저이다. (생성은 자동으로 만족)
4. $V$의 벡터 $n$개가 $V$를 생성하면 기저이다. (선형독립은 자동으로 만족)
5. $W$가 $V$의 부분공간이면 $\dim W\le \dim V$ 이고, $\dim W=\dim V$ 이면 $W=V$ 이다.

---

정규직교기저

• 기저의 벡터들이 서로 직교하고 크기가 1이면 정규직교기저(orthonormal basis) 라 한다.
• 표준기저는 대표적인 정규직교기저이다.
• 정규직교기저에서는 좌표를 내적만으로 구할 수 있다는 큰 장점이 있다. ((벡터) 벡터의 내적과 외적)

$$\mathbf{x}=\sum _{i=1}^n{c}_i{\mathbf{q}}_i\Rightarrow c_i={\mathbf{q}}_i\cdot \mathbf{x}$$

• 직교행렬의 열벡터들은 정규직교기저를 이룬다. → 10. 직교행렬

---

다른 개념과의 관계

• 랭크: 행렬의 랭크는 열공간(열벡터들이 생성하는 공간)의 차원이다. 열공간의 기저는 일차독립인 열벡터이다. → 9. 행렬의 Rank
• 고유값 분해: 선형독립인 고유벡터 $n$개가 ${\mathbb{R}}^n$의 기저를 이룰 때 고유값 분해가 가능하다. → 11. 고유값과 고유벡터
• 특이값 분해: $U$와 $V$의 열벡터들은 각각 ${\mathbb{R}}^m$과 ${\mathbb{R}}^n$의 정규직교기저이다. → 12. 특이값 분해 (SVD)

---

참고

• [선형대수학] II. 벡터공간과 기저 - 1. 벡터공간과 부분공간 (Vector Space, Subspace) : 네이버 블로그