7. 선형독립과 선형종속

선형독립과 선형종속

일차결합 (Linear Combination)

• 벡터 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$와 스칼라 $c_1,c_2,\cdots ,c_k$에 대하여 다음과 같은 형태의 벡터를 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$의 일차결합(선형결합) 이라고 한다.

$$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k$$

• 즉, 일차결합은 벡터들에 상수배를 하고 더해서 만든 벡터이다.
• 어떤 벡터가 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$의 일차결합으로 표현된다는 것은, 그 벡터가 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$로 “만들어질 수 있다”는 뜻이다.

선형독립과 선형종속의 정의

• 벡터 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$에 대하여 다음 방정식을 생각한다.

$$c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k=0$$

• 이 방정식은 $c_1=c_2=\cdots =c_k=0$ 이라는 자명한 해(trivial solution) 를 항상 가진다.
• 선형독립(Linearly Independent, 일차독립): 자명한 해만 존재할 때, 즉 모든 계수가 0일 때만 위 식이 성립할 때
• 선형종속(Linearly Dependent, 일차종속): 계수가 하나라도 0이 아닌 해가 존재할 때

직관적인 의미

• 선형종속이면, 계수 중 0이 아닌 것을 하나 골라 그 벡터를 나머지 벡터들의 일차결합으로 나타낼 수 있다.
  • 예: $c_1\ne 0$ 이면 ${\mathbf{v}}_1=-\frac{c_2}{c_1}{\mathbf{v}}_2-\cdots -\frac{c_k}{c_1}{\mathbf{v}}_k$
  • 즉, 불필요한(중복된) 벡터가 하나 이상 있다는 뜻이다.
• 선형독립이면, 어떤 벡터도 나머지 벡터들의 일차결합으로 표현할 수 없다. 즉, 각 벡터가 자기만의 새로운 방향을 가진다.

기하학적 의미

• ${\mathbb{R}}^2$ (평면)
  • 두 벡터가 한 직선 위에 있으면 (서로 상수배) 선형종속
  • 두 벡터가 서로 다른 방향이면 선형독립이며, 이 두 벡터의 일차결합으로 평면 전체를 만들 수 있다.
• ${\mathbb{R}}^3$ (공간)
  • 세 벡터가 한 평면 위에 있으면 선형종속
  • 세 벡터가 한 평면에 놓이지 않으면 선형독립이며, 일차결합으로 공간 전체를 만들 수 있다.
• 영벡터 $0$을 포함한 벡터들은 항상 선형종속이다. ($1\cdot 0=0$ 이므로 0이 아닌 계수가 존재)

---

예시

예시 1: 선형종속인 두 벡터

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right]$$

• ${\mathbf{v}}_2=2{\mathbf{v}}_1$ 이므로 $2{\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2=0$ 이다. 계수 $(2,-1)$이 0이 아니므로 선형종속이다.

예시 2: 선형독립인 표준기저 벡터

$${\mathbf{e}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{e}}_2=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{e}}_3=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$$

• $c_1{\mathbf{e}}_1+c_2{\mathbf{e}}_2+c_3{\mathbf{e}}_3=(c_1,c_2,c_3)=0$ 이면 $c_1=c_2=c_3=0$ 이므로 선형독립이다.
• 여기에 ${\mathbf{v}}_4=(-1,3,4)$를 추가하면 ${\mathbf{v}}_4=-{\mathbf{e}}_1+3{\mathbf{e}}_2+4{\mathbf{e}}_3$ 이므로 $\{{\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,{\mathbf{e}}_3,{\mathbf{v}}_4\}$는 선형종속이다.

예시 3: 세 벡터의 판정

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right],{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{c}7\\ 8\\ 9\end{array}\right]$$

• ${\mathbf{v}}_3=2{\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_1$ 이 성립하므로 선형종속이다. ($-{\mathbf{v}}_1+2{\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_3=0$)
• 세 벡터가 하나의 평면 위에 놓여 있다는 뜻이다.

---

선형독립의 판정

행렬 방정식으로의 변환

• 벡터 ${\mathbf{v}}_1,\cdots ,{\mathbf{v}}_k$를 열벡터로 하는 행렬 $A$를 만들면 일차결합은 행렬과 벡터의 곱으로 표현된다.

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_k\end{array}\right],c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k=A\mathbf{c},\mathbf{c}=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ ⋮\\ c_k\end{array}\right]$$

• 따라서 선형독립 여부는 동차 연립방정식 $A\mathbf{c}=0$ 이 자명한 해만 가지는지로 판정한다.
  • 자명한 해 $\mathbf{c}=0$ 뿐 → 선형독립
  • 자명하지 않은 해 존재 → 선형종속
• 이 방정식은 4. 가우스-조던 소거법으로 풀 수 있다. 기약 행 사다리꼴로 만들었을 때 모든 열에 피벗(pivot)이 있으면 자유변수가 없으므로 자명한 해뿐이고, 선형독립이다. 피벗이 없는 열이 있으면 선형종속이다.

풀이 예시

• 예시 3의 세 벡터로 $A$를 만들어 소거하면 다음과 같다.

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 2& 5& 8\\ 3& 6& 9\end{array}\right]⟶\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

• 세 번째 열에 피벗이 없으므로 자유변수가 존재하고 선형종속이다. 해는 $(c_1,c_2,c_3)=t(1,-2,1)$ 이며, $t=1$ 일 때 위에서 구한 ${\mathbf{v}}_1-2{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3=0$ 과 일치한다.

행렬식을 이용한 판정 (정방행렬)

• $n$개의 벡터가 ${\mathbb{R}}^n$에 있어서 $A$가 $n\times n$ 정방행렬일 때는 6. 행렬식으로 간단히 판정할 수 있다.

$$\det (A)\ne 0⟺\text{열벡터들이 선형독립}⟺A\text{는 가역행렬}$$ $$\det (A)=0⟺\text{열벡터들이 선형종속}⟺A\text{는 가역행렬이 아니다}$$

• 예시 3의 행렬은 $\det (A)=0$ 이므로 선형종속이다.
• 반대로, 다음 세 벡터는 $\det (A)=-2\ne 0$ 이므로 선형독립이다.

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]$$

행벡터와 열벡터

• 위 판정은 열벡터 기준이지만, 같은 방법을 행벡터에도 적용할 수 있다. 행렬 $A$의 행벡터들은 $A^T$의 열벡터이므로 $A^T\mathbf{c}=0$ 이 자명한 해만 가지는지로 판정한다.
• 일차독립인 행벡터의 최대 개수와 열벡터의 최대 개수는 항상 같으며, 이 값이 행렬의 랭크(rank) 이다. → 9. 행렬의 Rank

---

선형독립의 성질

1. 벡터가 하나일 때: $\{\mathbf{v}\}$는 $\mathbf{v}\ne 0$ 이면 선형독립이다.
2. 두 벡터일 때: 서로 상수배 관계가 아니면 선형독립이다.
3. 영벡터를 포함하면 항상 선형종속이다.
4. 부분집합의 성질
   • 선형독립인 집합의 부분집합은 선형독립이다.
   • 선형종속인 집합에 벡터를 추가해도 선형종속이다.
5. 개수 제한: ${\mathbb{R}}^n$에서 $n$개보다 많은 벡터는 항상 선형종속이다. 일차독립인 벡터는 최대 $n$개까지만 가질 수 있다.
   • ${\mathbb{R}}^3$에서 벡터 4개는 반드시 선형종속이다. (예시 2 참고)
6. 직교하는 벡터들은 선형독립이다.: 영벡터가 아닌 벡터들이 서로 직교하면(내적이 0) 선형독립이다. ((벡터) 벡터의 내적과 외적 참고)
   • 증명: $c_1{\mathbf{v}}_1+\cdots +c_k{\mathbf{v}}_k=0$ 의 양변에 ${\mathbf{v}}_i$를 내적하면 $c_i({\mathbf{v}}_i\cdot {\mathbf{v}}_i)=0$ 이고, ${\mathbf{v}}_i\ne 0$ 이므로 $c_i=0$ 이다.

---

다른 개념과의 관계

• 기저와 차원: ${\mathbb{R}}^n$에서 $n$개의 선형독립인 벡터는 공간 전체를 생성하는 기저(basis) 가 된다. → 8. 기저와 차원
• 랭크: 행렬의 랭크는 선형독립인 열(행)벡터의 최대 개수이다. → 9. 행렬의 Rank
• 고유값 분해: $n\times n$ 행렬이 고유값 분해가 가능하려면 $n$개의 선형독립인 고유벡터가 필요하다. → 11. 고유값과 고유벡터
• 직교행렬: 직교행렬의 열벡터들은 정규직교이므로 항상 선형독립이다. → 10. 직교행렬

---

참고

• [선형대수학] II. 벡터공간과 기저 - 2. 일차결합(선형결합)과 생성, 일차독립/종속 (Linear Combination, Span, Linearly (In)dependent) : 네이버 블로그