(행렬) 초등행렬

초등행렬 (Elementary Matrix)

✔ 항등행렬에 기본 행 연산 중 한가지를 한 번 실시한 행렬

다음 세 가지 종류의 행렬을 초등행렬(Elementary Matrix)이라 한다.

1. 항등행렬 $I$ 의 $i$번째 행과 $j$번째 행의위치를 맞바꾼 행렬

   $I_{[i]\leftrightarrow [j]}$

2. 항등행렬 $I$ 의 $i$번째 행에 0이 아닌 상수$(k)$를 곱한 행렬

   $I_{k[i]}$

3. 항등행렬 $I$의 $i$번째 행의 0이 아닌 상수$(k)$배를 $j$번째 행에 더한 행렬

   $I_{k[i]+[j]}$

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기본 행 연산과 초등행렬

$(m\times n)$ 행렬 A에, 크기가 m인 초등행렬을 왼쪽에 곱하면, 그에 대응하는 기본 행 연산을 A에 시행한 것과 같다.

다음 $(3\times 2)$ 행렬을 기본 행 연산을 통해 첫째 행과 둘째 행의 위치를 바꾸면,

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$$

만약 항등행렬의 첫째 행과 둘째 행을 바꾼 행렬을 왼쪽에 곱해본다면,

$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$$

앞서 기본 행 연산을 한 것과 똑같이 나온다.

$\therefore$ 임의의 **행렬 A 왼쪽에 초등행렬을 곱한 것**은 초등행렬에 사용된 **기본 행 연산을 행렬 A에 한 것**과 같다.

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초등행렬의 가역성

모든 **초등행렬은 가역행렬**이며, 그 **역행렬도 초등행렬**이다

1. 항등행렬 $I$ 의 $i$번째 행과 $j$번째 행의위치를 맞바꾼 행렬

   $I_{[i]\leftrightarrow [j]}=I$

   항등행렬의 i번째 행과 j번째 행의 자리를 바꾼 초등행렬을 다시 항등행렬로 바꾸려면
   다시 초등행렬을 이용해 i번째 행과 j번째 행을 바꾸면 된다.

   $I_{[i]\leftrightarrow [j]}(I_{[i]\leftrightarrow [j]})=I$

   $\therefore (I_{[i]\leftrightarrow [j]}{)}^{-1}=I_{[i]\leftrightarrow [j]}$

2. 항등행렬 $I$ 의 $i$번째 행에 0이 아닌 상수$(k)$를 곱한 행렬

   $I_{k[i]}$

   i번째 행에 k배를 한 초등행렬을 다시 항등행렬로 바꾸려면 i번째 행에 1/k배를 하면 된다.

   $I_{\frac{1}{k}[i]}(I_{k[i]})=I$

   $\therefore (I_{k[i]}{)}^{-1}=I_{\frac{1}{k}[i]}$

3. 항등행렬 $I$의 $i$번째 행의 0이 아닌 상수$(k)$배를 $j$번째 행에 더한 행렬

   $I_{k[i]+[j]}$

   $k[i]$를 $j$ 번째 행에 더하였으니, $-k[i$]를 더해주면 된다.

   $I_{(-k)[i]+[j]}(I_{k[i]+[j]})=I$

   $\therefore (I_{k[i]+[j]}{)}^{-1}=I_{(-k)[i]+[j]}$

따라서, 모든 초등행렬은 가역행렬이고, 역행렬도 초등행렬이다.

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행 동등과 성질

행 동등(Row Equivalent)

임의의 행렬 A에 기본 행 연산을 해서 나온 B행렬에 대해, A와 B는 행 동등 하다.
$A{\sim }_{r}B$

초등행렬은 일반적으로 다음과 같이 표현한다.
$E_1,E_2,\cdots ,E_n$

만약 A에 n번의 기본 행 연산을 해서 B를 얻었다면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

$$E_n(\cdots (E_2(E_{1}A)))$$ $$=E_n{E}_{n-1}\cdots E_{1}A=B$$

따라서 A와 B가 행 동등하다라는 조건이 주어지면, 초등행렬 $E_1,E_2,\cdots ,E_n$에 대해서 다음 관계가 성립한다.

$A{\sim }_{r}B\iff E_n{E}_{n-1}\cdots E_{1}A=B$

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가역인 정방행렬의 동치조건들

정방행렬 A에 대해서, 다음 조건들은 모두 동치이다.

1. A는 가역행렬이다.
2. A는 I와 행 동등하다.
3. A는 유한 개의 초등행렬의 곱으로 표현된다.
4. 연립방정식 AX=B는 유일한 해를 갖는다.
5. 동차연립방정식 AX=O는 자명한 해만을 갖는다.

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참고

• [선형대수학] I. 행렬 - 3. 초등행렬 (Elementary Matrix) : 네이버 블로그

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